De la volatilité constante à la volatilité locale

La volatilité implicite, qui consiste à extraire la volatilité de la formule de Black and Scholes (B&S), est devenue une mesure de la dispersion d’une variable aléatoire…

Le modèle de Black and Scholes 

La volatilité implicite, qui consiste à extraire la volatilité de la formule de Black and Scholes (B&S), est devenue une mesure de la dispersion d’une variable aléatoire. Cependant, le développement des marchés dérivés a permis de mettre l’intuition de B&S à l’épreuve. Dans leur célèbre modèle de valorisation d’options, B&S partent du principe que le rendement d’une action se modélise grâce à un drift et à une composante aléatoire dont l’amplitude se mesure par la volatilité qui serait constante pour chaque actif.  

Au cours des dernières décennies et étant donné le nombre croissant d’options qui se négocient sur les marchés financiers, on a pu constater que la volatilité extraite de la formule de B&S n’était en fait pas du tout constante. Elle varie en fonction du Strike et de la maturité de l’option (les fameux smiles !).  

Un modèle de volatilité « inconstante » 

Il convenait donc de remettre en cause une des hypothèses fortes du modèle de B&S.  Il fallait considérer qu’elle n’est en réalité pas du tout constante. De même, il était nécessaire de la modéliser comme un nouveau processus aléatoire. C’est le cas par exemple dans le modèle de volatilité stochastique avec le modèle de Heston. Une autre possibilité était de supposer qu’elle est une fonction déterministe du sous-jacent et de la maturité.  

B&S modélisent le rendement d’une action comme le processus aléatoire sous une probabilité risque neutre : 

\frac{dS}{S}=rdt+\sigma dZ, dZ\sim N(0,\sqrt{dt})

Dans cette formulation, B&S font, entre autres, l’hypothèse que le taux sans risque et la volatilité sont constantes. 

Le concept de volatilité locale 

Essayons à présent de ne pas retenir l’hypothèse de constance la volatilité. On a alors le nouveau processus ci-dessous : 

\frac{dS}{S}=rdt+\sigma\left ( S(t),t \right ) dZ

dS=rSdt+\sigma\left ( S(t),t \right )S dZ

Afin de faire apparaître la notion de volatilité locale, nous allons utiliser la technique introduite par Bruno Dupire. Elle consiste à utiliser l’équation de Fokker Planck à une dimension : 

\frac{\partial }{\partial t}P(x,t)=\frac{\partial }{\partial x}\left [ D_{1}(x,t)P(x,t) \right ] + \frac{1}{2}\frac{\partial^{2} }{\partial x^{2}}\left [ D_{2}(x,t)P(x,t) \right ]

Avec :

• un coefficient de diffusion
• un drift
• la probabilité de trouver la particule au point x à l’instant t 

L’équation aux dérivées partielles de Fokker-Planck linéaire à une dimension que satisfait la densité de probabilité p (S, t) de transition d’un processus de Markov nous donne : 

\frac{\partial p(S,t)}{\partial t} =−\frac{\partial }{\partial S}(rSp)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2} S}{\partial S^{2}\left ( \left ( \sigma S \right ) ^2 p\right )}  \text{        (0)} 

Le prix théorique d’un call de Strike K et de maturité T sous une probabilité risque neutre est l’espérance actualisée : 

C(K, T) = e^{-rt} E^{Q}(S_{t}-K,0)

C(K, T) = e^{-rt} \int_{K}^{+\infty }(S-K) pdS

C(K, T) = e^{-rt} \int_{K}^{+\infty }pSdS -Ke^{-rt} \int_{K}^{+\infty }pdS \text{     (1)}

\frac{\partial C(K, T)}{\partial K} = -e^{-rt} \int_{K}^{+\infty }pdS \text{     (2)}

(1) et (2) implique :

e^{-rt} \int_{K}^{+\infty }pSdS = C(K, T) - K\frac{\partial C(K, T)}{\partial K} \text{     (3)}

D’autre part, en dérivant deux fois par rapport au Strike K, on obtient : 

\frac{\partial^{2} C(K, T)}{\partial K^{2}} = e^{-rt}p

Si on dérive le Call par rapport à la maturité de l’option, on obtient : 

\frac{\partial C(K, t)}{\partial t} = -rC + e^{-rt} \int_{K}^{+\infty }(S-K)\frac{\partial p}{\partial t}dS

Puis en utilisant l’équation de Fokker Planck (0), on obtient : 

\frac{\partial C(K, t)}{\partial t} = -rC + e^{-rt} \int_{K}^{+\infty }(S-K)\left [ -\frac{\partial }{\partial S}(rSp)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2} S}{\partial S^{2}}  \left ( \left ( \sigma S \right ) ^2 p\right )\right ]dS

Finalement après plusieurs IPP et en utilisant les résultats précédents, on obtient : 

\frac{\partial C(K, t)}{\partial t} = \frac{1}{2}\sigma (K, T, S_{0})K^{2} \frac{\partial^{2} C(K, T)}{\partial K^{2}} -rK\frac{\partial C(K, T)}{\partial K}

Conclusion

En levant l’hypothèse de la constance de la volatilité, nous avons été capables de définir un nouveau processus de diffusion dans lequel la volatilité dépend à présent du niveau du sous-jacent et du temps. 

En appliquant à ce processus l’équation de Fokker Planck, nous avons pu d’exprimer cette volatilité en fonction du prix des calls observables sur les marchés.  

Nous sommes donc à présent capables de déterminer une volatilité locale plus proche de la réalité qui dépend du niveau du sous-jacent, comme c’est le cas de la volatilité des rendements de la courbe des taux, pour définir de manière plus précise la dispersion des rendements du sous-jacent.